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Verdade e demonstração: noções e relações

Nesta segunda parte do nosso artigo, trataremos das questões acerca da noção de demonstração e a relação entre esta e a de verdade, a partir do pensamento de Alfred Tarski.

Primeiramente, o filósofo afirma que “a definição não traz consigo um critério operativo que posa decidir quando sentenças particulares dessa linguagem são verdadeiras ou falsas (pág.110)”. Evidentemente, não cabe a uma definição estabelecer os critérios operacionais para se demonstrar a veracidade do conteúdo de sua proposição. Se assim fosse, deixaria de ser definição para ser “processo” ou “método”. Nesse sentido, Tarski confirma: “decidir em que casos uma determinada sentença é verdadeira é objeto da própria ciência e não da lógica ou da teoria da verdade.” (pág. 110). A teoria da verdade é o que dá suporte às conclusões científicas. Mas não poderia, de fato, pretender determinar  o que e o que não é verdade em todos os campos da ciência, posto que para isso, deveria ser todas as ciências, o que não acontece. Mas, por outro lado, toda ciência trabalha com a verdade e, pois, é preciso que se estabeleça um critério de verdade e, mais, que se determine um método de demonstração dessa verdade, porquanto somente assim será possível o trabalho científico. Isto é, não basta estabelecer o que é verdade, faz-se necessário demonstrar  essa verdade, mas isso já é tarefa de cada ciência particular. Vale dizer, a lógica ou teoria da verdade deve preocupar-se com a validade formal da ciência, e não com a validade material.

Considerando a primeira parte do texto, onde fica admitido o uso da definição de verdade apenas para as linguagens formalizadas, isto é, para linguagens fechadas (não universais), Tarski procura, então, “encontrar pelo menos critérios parciais de verdade e desenvolver procedimentos que não permitam determinar ou negar a verdade (ou, pelo menos, a possibilidade de verdade) de tantas sentenças quanto for possível.” (pág. 111).

Centrando-se sobre a ciência matemática, Tarski lembra que o método axiomático é o único utilizado em tal ciência. Isto é, o método dedutivo é o que vale para a matemática. Por outro lado, surge a pergunta: como demonstrar os axiomas? E mais, como sabido por todos, uma ciência que se funde no método dedutivo jamais terá qualquer garantia da validade de seu conhecimento, pois uma proposição universal carecerá sempre da demonstração de sua afirmação.  Nesse caminho, Tarski comenta o “critério de evidência intuitiva”, que era aplicado irrestritamente,  mas logo foi notado como incapaz de oferecer uma solução razoável para o problema., como bem afirma. “Todavia, bem cedo se percebeu que o critério de evidência intuitiva estava longe de ser infalível, não possuía um caráter objetivo e levava freqüentemente a graves erros” (pág. 112). E Tarski explica bem a questão ao nos fazer retomar que para afirmar uma sentença é preciso recorrer a outra sentença e assim por diante, ou numa regressão infinita ou num círculo vicioso. É preciso, portanto, romper com esse sistema. Na tentativa de solucionar tais problemas, foram estabelecidos dois princípios: o primeiro estabelece que se deve partir de um axioma, e o segundo determina que as demais sentenças somente serão válidas se demonstradas sob o axioma ou conjunto de axiomas pré-estabelecidos e demais sentenças já demonstradas. Assim esclarece Tarski: “Pelo primeiro (princípio), toda disciplina começa com uma lista constante de um pequeno número de sentenças chamadas axiomas ou sentenças primitivas, as quais parecem ser intuitivamente evidentes, sendo reconhecidas como verdadeiras sem justificação adicional. De acordo com o segundo, nenhuma outra sentença é aceita como verdadeira na disciplina a menos que estejamos aptos a demonstrá-la tendo como auxílio exclusivo os axiomas e as sentenças previamente demonstradas” (pág. 112).

Uma vez estabelecidos esses princípios, que pretendem fazer-se de ponto de apoio originário para a aceitação da verdade de uma sentença – e digo ‘pretendem’ porque como o próprio Tarski admite, isso não é possível: “Por motivos óbvios, o objetivo ideal não pode ser atingido.” (pág. 112) –  mas que, efetivamente, constituem suportes provisórios, surge, então, a problemática do uso dos termos. Então, mais uma vez, o caminho apontado é o recurso aos dois princípios supracitados, estabelecendo-se, pois, dois princípios análogos, quais sejam: “Pelo primeiro deles, listamos no início uns poucos termos – chamados termos primitivos ou indefinidos – que parecem ser diretamente compreensíveis e que decidimos usar (na formulação e demonstração de teoremas) sem explicar seus significados. Através do segundo princípio, concordamos em não usar quaisquer outros termos a menos que possamos explicar seus significados, definindo-se com auxílio dos termos indefinidos e dos termos previamente definidos” (pág. 113).

Dessa forma ficam, pois, estabelecidos os quatro pilares do método axiomático, mas quatro pilares que não se sustentam, nem tampouco podem sustentar a validade do conhecimento adquirido a partir deles. Entretanto, devemos reconhecer que é uma tentativa de escapar da evidência intuitiva – muito mais sujeita a erros, como é notório – ao menos restringindo ao máximo possível o seu uso. E Tarski ressalta que esse método foi usado “por mais de 2000 anos praticamente sem sofrer alterações” (pág. 113), como se fosse absolutamente seguro. Somente nos dois últimos séculos esse método começou a ser discutido amplamente, segundo o autor afirma e podemos verificar pelas discussões filosóficas registradas, principalmente a partir de Frege e seu método de demonstração formal.

A respeito da demonstração formal, Tarski, considera-a como altamente melhoradora do sistema, vez que fornece critérios mais rigorosos contra o subjetivismo anterior. Com Frege, a linguagem teórica passa a ser formalizada com base em regras sintáticas, as quais “permitem, em particular, distinguir uma sentença de uma expressão que não é uma sentença pelo simples exame da forma da expressão” (pág. 114).  Uma vez estabelecido o que é o que não é sentença, pela aplicação de novas regras, pode-se determinar quais sentenças são deriváveis diretamente de uma dada sentença prévia, já demonstrada. Essas regras, atenta Tarski, são formais. Assim ficaria, então, resolvido o problema da demonstração: “uma demonstração formal de uma sentença dada consiste em construir uma seqüência finita de sentenças tal que (1) a primeira sentença na seqüência é um axioma, (2) cada uma das sentenças seguintes ou é um axioma ou, então, é derivável diretamente de algumas sentenças que a precedem na seqüência através de uma das regras de demonstração, e (3) a última sentença na seqüência  é aquela que deve ser demonstrada.”, mas, sabemos, a situação ainda exige maiores reflexões, eis que, vejamos, essas regras devem ser aplicadas aos axiomas,  e estes carecem de demonstração.

E por esses passos Tarski apresenta o que denomina teoria formalizada: “Uma teoria axiomática cuja linguagem tenha sido formalizada e para a qual tenha sido fornecida a noção de demonstração formal é chamada teoria formalizada” (pág. 115). Diante disso, o autor pondera que o “recurso à evidência intuitiva ficou consideravelmente restringido; as dúvidas com respeito à verdade dos teoremas não foram inteiramente eliminadas, mas ficaram reduzidas às possíveis dúvidas com respeito à verdade das poucas sentenças listadas como axiomas e quanto à infalibilidade das poucas e simples regras de demonstração” (pág. 115). Mas, por outro lado, podemos também ponderar se são tão poucos mesmo os axiomas e, ainda que o sejam, como poderemos construir um edifício científico sobre pilares sem sustentação...

         Na última parte do texto, Alfred Tarski estabelece a relação entre Demonstração e Verdade com o fim de analisar mais detidamente a noção de demonstração, avaliando sua possibilidade de uso. A demonstração, ressalva, “é um  procedimento que objetiva a obtenção de novas sentenças verdadeiras” (pág. 116). Para que seja válida, portanto, toda as sentenças estabelecidas mediante a aplicação dessa noção – e suas regras – forem verdadeiras e, evidentemente, se todas  as sentenças verdadeiras puderem ser obtidas através desse método. Daí vem a questão posta por Tarski a respeito da adequação desse procedimento para  o alcance da verdade. “é a demonstração formal realmente um procedimento adequado para a obtenção da verdade?” (pág. 116). Para tentar resolver o problema, o autor restringe seu estudo à aritmética dos números naturais, por ser bem elementar.  A formalização  dessa teoria envolve o estabelecimento de vocabulário, variáveis, números, símbolos de relação, conectivos sentenciais e quantificadores.  

Lembrando a distinção entre linguagem-objeto e metaliguagem, Tarski releva que “uma certa condição formulada na metalinguagem é satisfeita por todos os elementos desse conjunto (isto é, todas as sentenças verdadeiras) e por apenas esses elementos” (pág. 117). Em face disso, para o estudo da teoria artimética proposta, deve-se formular uma outra teoria dentro da metalinguagem, isto é, uma metateoria, a qual dará suporte à teoria propriamente dita. Logo, resolvendo-se o problema no campo da metateoria, estará resolvido o problema da teoria. 

Agora, a resposta para a pergunta inicial fica cristalina. Considerando-se que a metalinguagem é mais ampla do que a linguagem-objeto, como já demonstrado na primeira parte do texto, evidentemente o conjunto das sentenças demonstráveis é menor do que o conjunto de todas as sentenças verdadeiras. Mas Tarski continua a explicação com a intenção de tornar claro todo o processo utilizado para se chegar a essa conclusão e destaca que a metalinguagem  compreende “termos necessários para a discussão da linguagem-objeto e de seus componentes e, conseqüentemente, podemos nos referir, na metalinguagem, a expressões e, em particular, a sentenças, a conjuntos de sentenças, a relações entre sentenças etc.” (pág. 117).

         O processo começa pelo arranjo das sentenças partindo-se da mais simples para a mais complexa, numerando-as consecutivamente. Assim, temos para cada sentença diferente, um número diferente. Se agruparmos as sentenças em conjuntos, devemos estabelecer as mesmas relações. No caso em tela, interessa o conjunto dos números demonstráveis e o dos números verdadeiros, aos quais Tarski indica, abreviadamente por números demonstráveis+  e números verdadeiros+. A pergunta inicial está, agora, reduzida a: “são idênticos os conjuntos dos números demonstráveis+ e dos números verdadeiros+?” (pág. 118).

         Assim como as  regras de relação entre sentenças são simples, também as regras entre os números o são. Isto é, restringem-se às relações aritméticas como adição, multiplicação e igualdade. Logo, são as mesmas relações existentes na linguagem-objeto. E, por conseqüência, “a definição de demonstrabilidade foi traduzida da metalinguagem para a linguagem-objeto” (pág.118).  Mas se isso ocorre na linguagem formalizada, não pode ocorrer na linguagem comum, porquanto levaria à universalidade e a antinomia do mentiroso, como já vimos, e reafirma Tarski, faria mais uma vez naufragar todo o sistema, ainda que de “forma mais completa e sofisticada” (pág. 119).

Considerando, entretanto, que o conjunto dos números demonstráveis+ é definível na linguagem da aritmética e que o conjunto dos números verdadeiros+ não é,  conclui que não há aquela coincidência, e pois, não retorna a antinomia do mentiroso, afirmando: “Dessa forma, nossa conclusão final é: existem sentenças formuladas na linguagem da aritmética que são verdadeiras mas não podem ser demonstradas com base nos axiomas e regras de demonstração aceitos na aritmética” (pág. 119).

         Apenas para ressalvar o caráter não universal dessa conclusão, Tarski sublinha a existência de teorias que não contemplam a aritmética dos números naturais, advindo, daí, a possibilidade de coincidência entre as sentenças demonstráveis e verdadeiras, como, por exemplo a geometria elementar e a álgebra elementar dos números reais (pág. 120).

Tarski, enfim,  sobreleva a importância dessas reflexões e conclusões no tocante às noções de Verdade e Demonstração e suas relações, tendo em vista o aclaramento de que “em nenhum domínio da matemática a noção de demonstrabilidade é um substituto perfeito para a noção de verdade” (pág. 120), seguindo-se disso, também, que “existem sentenças formuladas na linguagem da teoria que, embora verdadeiras não são demonstráveis” (pág. 121) e um dos trabalhos a ser desenvolvido passa pela tentativa de demonstrar sentenças não demonstráveis, caminho esse cujo fim é inalcançável, mas leva, sem dúvida, à ampliação do conjunto das sentenças demonstráveis, o que mostra, conforme explica o autor, que “as duas noções (verdade e demonstração) não estão em guerra e sim coexistem pacificamente” (pág. 121).

         Diante do acima exposto, podemos concluir, dentre outras possibilidades,  que a conclusão de Tarski já foi alcançada por muitos outros filósofos no campo metafísico, qual seja, o homem pode chegar a alguma parte da verdade, mas não pode chegar à verdade absoluta, ou à verdade toda, isto é, podemos, com muito esforço, perceber aspectos da verdade, mas para atingirmos a verdade toda, teríamos de ser perfeitos, pois só compreende a perfeição toda  aquele que é perfeito, e o homem, finito e imperfeito, não tem como, racionalmente, conhecer o perfeito e infinito. Mas, assim como o autor em tela, a maioria entende que o caminho tem de ser esse, como afirma Tarski: “ampliar gradualmente o conjunto de sentenças demonstráveis” (pág. 121), pois somente assim poderemos ampliar o conhecimento humano.

             Luiz Meirelles

Mestrando em Filosofia – PUC/SP

Bibliografia.

TARSKI, Alfred. Verdade e Demonstração. Trad. Jesus de Paula Assis, Cadernos de História e Filosofia da Ciência, Série 3, v. 1, n.1, 1991. UNICAMP.

Anotações das aulas do Prof. Doutor Edélcio Gonçalves de Souza, durante o curso de Mestrado na PUC/SP – 2002.

 

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Ano X - Nº 37
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ISSN 1980-4342

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